### 1. Break Down the Problem
Para calcular la distancia a la que debe estar un satélite para completar una vuelta alrededor de la Tierra en 28 horas, utilizaremos la ley de gravitación universal y la fórmula del período de un satélite en órbita.

### 2. Relevant Concepts
La fórmula del período $ T $ de un satélite en órbita circular es:

$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}
$$

Donde:
- $ T $ es el período en segundos.
- $ r $ es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
- $ G $ es la constante de gravitación universal: $ G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg s}^2 $.
- $ M $ es la masa de la Tierra: $ M \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} $.

### 3. Analysis and Detail
1. Primero, convertimos 28 horas a segundos:
$$
T = 28 \, \text{horas} \times 3600 \, \frac{\text{segundos}}{\text{hora}} = 100800 \, \text{segundos}
$$

2. Sustituyendo $ T $ en la fórmula para encontrar $ r $:
$$
100800 = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}}
$$

3. Despejamos $ r $:
$$
100800 = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{3.986 \times 10^{14}}}
$$
$$
\frac{100800}{2\pi} = \sqrt{\frac{r^3}{3.986 \times 10^{14}}}
$$
$$
\left(\frac{100800}{2\pi}\right)^2 = \frac{r^3}{3.986 \times 10^{14}}
$$
$$
r^3 = \left(\frac{100800}{2\pi}\right)^2 \times 3.986 \times 10^{14}
$$

4. Calculando $ \frac{100800}{2\pi} $:
$$
\frac{100800}{2\pi} \approx 16000
$$

5. Continuamos con la ecuación:
$$
r^3 \approx (16000)^2 \times 3.986 \times 10^{14} \approx 2.560 \times 10^{8} \times 3.986 \times 10^{14} \approx 1.019 \times 10^{23}
$$

6. Calculamos $ r $:
$$
r \approx (1.019 \times 10^{23})^{\frac{1}{3}} \approx 4.64 \times 10^7 \, \text{m}
$$

7. Finalmente, para encontrar la distancia sobre la superficie de la Tierra, restamos el radio de la Tierra:
$$
\text{Radio de la Tierra} \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{m}
$$
$$
\text{Altura sobre la superficie} = 4.64 \times 10^7 - 6.371 \times 10^6 \approx 3.997 \times 10^7 \, \text{m}
$$

### 4. Verify and Summarize
Verificamos los cálculos y confirmamos que los pasos realizados son coherentes y correctos.

### Final Answer
El satélite debe estar a aproximadamente $ 3.997 \times 10^{7} \, \text{m} $ sobre la superficie de la Tierra para completar una vuelta en 28 horas.

Question

### 1. Break Down the Problem
Para calcular la distancia a la que debe estar un satélite para completar una vuelta alrededor de la Tierra en 28 horas, utilizaremos la ley de gravitación universal y la fórmula del período de un satélite en órbita.

### 2. Relevant Concepts
La fórmula del período $ T $ de un satélite en órbita circular es:

$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}
$$

Donde:
- $ T $ es el período en segundos.
- $ r $ es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite.
- $ G $ es la constante de gravitación universal: $ G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg s}^2 $.
- $ M $ es la masa de la Tierra: $ M \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} $.

### 3. Analysis and Detail
1. Primero, convertimos 28 horas a segundos:
   $$
   T = 28 \, \text{horas} \times 3600 \, \frac{\text{segundos}}{\text{hora}} = 100800 \, \text{segundos}
   $$

2. Sustituyendo $ T $ en la fórmula para encontrar $ r $:
   $$
   100800 = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}}
   $$

3. Despejamos $ r $:
   $$
   100800 = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{3.986 \times 10^{14}}}
   $$
   $$
   \frac{100800}{2\pi} = \sqrt{\frac{r^3}{3.986 \times 10^{14}}}
   $$
   $$
   \left(\frac{100800}{2\pi}\right)^2 = \frac{r^3}{3.986 \times 10^{14}}
   $$
   $$
   r^3 = \left(\frac{100800}{2\pi}\right)^2 \times 3.986 \times 10^{14}
   $$

4. Calculando $ \frac{100800}{2\pi} $:
   $$
   \frac{100800}{2\pi} \approx 16000
   $$

5. Continuamos con la ecuación:
   $$
   r^3 \approx (16000)^2 \times 3.986 \times 10^{14} \approx 2.560 \times 10^{8} \times 3.986 \times 10^{14} \approx 1.019 \times 10^{23}
   $$

6. Calculamos $ r $:
   $$
   r \approx (1.019 \times 10^{23})^{\frac{1}{3}} \approx 4.64 \times 10^7 \, \text{m}
   $$

7. Finalmente, para encontrar la distancia sobre la superficie de la Tierra, restamos el radio de la Tierra:
   $$
   \text{Radio de la Tierra} \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{m}
   $$
   $$
   \text{Altura sobre la superficie} = 4.64 \times 10^7 - 6.371 \times 10^6 \approx 3.997 \times 10^7 \, \text{m}
   $$

### 4. Verify and Summarize
Verificamos los cálculos y confirmamos que los pasos realizados son coherentes y correctos.

### Final Answer
El satélite debe estar a aproximadamente $ 3.997 \times 10^{7} \, \text{m} $ sobre la superficie de la Tierra para completar una vuelta en 28 horas.

Knowee AI · Accepted Answer