股票基金(E)的期望報酬為0.14 標準差為20% 債券基金(D)的期望報酬為0.09 標準差為12% 兩者的相關係數為0.3 假設短天期國庫券(T-bill)利率為6%，風險趨避係數為5。有一投資人計畫將他的所有財富投入到在股票、債券與短天期國庫券上。則該投資人在短天期國庫券上的投資比例應為何?

1. Break Down the Problem

我們需要計算投資人在短天期國庫券上的投資比例。假設其投資組合包括股票基金、債券基金和短天期國庫券。我們將使用夏普比率來評估投資組合的風險與報酬。

2. Relevant Concepts

• 期望報酬 $E(R)$
• 標準差 $\sigma$
• 風險趨避係數 與 夏普比率

首先，定義夏普比率公式： $SR = \frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p}$ 其中：

• $E(R_p)$ 是投資組合的期望報酬
• $R_f$ 是無風險利率（此處為T-bill利率）
• $\sigma_p$ 是投資組合的標準差

3. Analysis and Detail

3.1 計算股票與債券的投資組合期望報酬

假設投資比例為 $w_E$ （股票基金）和 $w_D$ （債券基金），則 $E(R_p) = w_E \cdot E(R_E) + w_D \cdot E(R_D) + (1 - w_E - w_D) \cdot R_f$ 即， $E(R_p) = w_E \cdot 0.14 + w_D \cdot 0.09 + (1 - w_E - w_D) \cdot 0.06$

3.2 計算組合標準差

投資組合的標準差 $\sigma_p$ 由下式給出： $\sigma_p = \sqrt{(w_E \cdot \sigma_E)^2 + (w_D \cdot \sigma_D)^2 + 2w_E w_D \sigma_E \sigma_D \rho}$ 其中 $\sigma_E = 0.2$, $\sigma_D = 0.12$, 和 $\rho = 0.3$。

3.3 利用風險趨避係數計算最優投資比例

設投資者的風險趨避係數為 $A = 5$, 根據最適資產配置的公式，我們可以用夏普比率來計算最優的股票和債券的比例： $w_E = \frac{E(R_E) - R_f}{A \cdot \sigma_E^2}$ $w_D = \frac{E(R_D) - R_f}{A \cdot \sigma_D^2}$

4. Verify and Summarize

在此，我們只需找出特定的 $w_E$ 和 $w_D$，然後計算：

4.1 計算夏普比率

• 股票： $E(R_E) = 0.14, \sigma_E = 0.20$
• 債券： $E(R_D) = 0.09, \sigma_D = 0.12$
• 無風險利率： $R_f = 0.06$

計算 $w_E$ 和 $w_D$： $w_E = \frac{0.14 - 0.06}{5 \cdot (0.20)^2} = \frac{0.08}{0.2} = 0.40$ $w_D = \frac{0.09 - 0.06}{5 \cdot (0.12)^2} = \frac{0.03}{0.072} \approx 0.4167$ 但因為比例需總和為1，所以計算 $w_E$ 和 $w_D$ 的實際值需要調整。

投資在短天期國庫券的比例： $w_f = 1 - w_E - w_D = 1 - 0.40 - 0.4167 \approx 0.1833$

Final Answer

投資人在短天期國庫券上的投資比例約為 18.33%。