Utilizar el teorema del residuo para hallar P−1 si =Px+−−x44x3+2x4.Específicamente, indicar el cociente y el residuo de la división asociada y el valor de P−1.

Para resolver este problema, utilizaremos el teorema del residuo para determinar el inverso de P dado como $P(x) = x^4 + 2x^3 - 4x$. Vamos a seguir los pasos a continuación:

1. ### Break Down the Problem

Dividiremos el problema en las siguientes partes:

1. Determinar el cociente y el residuo de la división de $P(x)$ entre $x - r$, donde $r$ es una raíz de $P(x)$.
2. Utilizar el cociente y residuo para hallar $P^{-1}$.

2. ### Relevant Concepts

Para llevar a cabo la división de $P(x)$ por $x - r$, podemos utilizar la regla de Horner o la división sintética. El teorema del residuo nos dice que el residuo de la división de $P(x)$ por $x - r$ es igual a $P(r)$.

3. ### Analysis and Detail

Supongamos que queremos encontrar el inverso de $P$ en un punto donde $P(r) = 0$. Primero, busquemos las raíces de $P(x) = x^4 + 2x^3 - 4x$.

1. Factorizamos el polinomio: $P(x) = x(x^3 + 2x^2 - 4)$

2. Ahora, resolvemos $x^3 + 2x^2 - 4 = 0$ para buscar raíces. Usando el método de prueba y error, encontramos $x = 1$ como posible raíz.

3. Sustituyendo $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 2(1^2) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1 \quad (\text{no es raíz})$

   Probamos con $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) = -8 + 8 + 8 = 8 \quad (\text{no es raíz})$

   Probamos con $x = 0$: $P(0) = 0 \quad (\text{raíz})$

4. Así que una de las raíces es $r = 0$. Utilizando esto, el residuo de la división de $P(x)$ entre $x = 0$ (usando la regla del residuo) es $P(0) = 0$.

5. Calculando el cociente (donde $r = 0$): Por el teorema del residuo, si $P(x) = (x - r)Q(x) + r$, entonces tenemos: $P(x) = xQ(x) + 0 \implies Q(x) = x^3 + 2x^2 - 4$

4. ### Verify and Summarize

Verificamos:

• Residuo $R = 0$
• Cociente $Q(x) = x^3 + 2x^2 - 4$

Dado que tenemos $P(x) = x (Q(x))$, podemos expresar $P^{-1}$ como el cociente que se obtiene al dividir $P$ entre $x$ cuando $x \neq 0$.

Final Answer

Por lo tanto, el cociente es $Q(x) = x^3 + 2x^2 - 4$ y el residuo es $R = 0$. El valor de $P^{-1}$ en el contexto dado es: $P^{-1} = Q(x) = x^3 + 2x^2 - 4$