我们有线性回归模型y = Xβ + e，其中y，X，β和e分别是响应向量，设计矩阵，参数向量和模型误差项。参数估计器是ˆβ = (XT X)−1XT y，拟合值向量可以写成ˆy = Hy，其中H是帽子矩阵。请证明yT y = ˆyT ˆy + ˆeT ˆe。

Question

我们有线性回归模型y = Xβ + e，其中y，X，β和e分别是响应向量，设计矩阵，参数向量和模型误差项。参数估计器是ˆβ = (XT X)−1XT y，拟合值向量可以写成ˆy = Hy，其中H是帽子矩阵。请证明yT y = ˆyT ˆy + ˆeT ˆe。
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Solution 1

首先，我们知道y = Xβ + e，所以e = y - Xβ。我们的目标是证明yT y = ˆyT ˆy + ˆeT ˆe。

我们可以将yT y写成(y - Xβ + Xβ)T (y - Xβ + Xβ) = (y - Xβ)T (y - Xβ) + (Xβ)T (Xβ)。

然后，我们知道ˆy = Hy = X(XT X)−1XT y，所以ˆyT ˆy = yT HTH y = yT H y = yT X(XT X)−1XT y。

我们也知道ˆe = y - ˆy = y - Hy，所以ˆeT ˆe = (y - Hy)T (y - Hy) = yT y - yT Hy - HyT y Knowee AI StudyGPT is a powerful AI-powered study tool designed to help you to solve study prob

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